Идеальное дифференцирующее звено (дифференциатор)
Дифференциальное уравнение звена имеет следующий вид:
. (3.13)
Передаточная функция дифференциатора:
, (3.14)
где K = Tд . Параметр Tд называется постоянной дифференцирования, K - коэффициентом передачи дифференциатора. Далее будет использоваться запись ПФ дифференциатора в виде W(s)=Ks .
Подадим на вход дифференцирующего звена единичное ступенчатое воздействие f(t) = 1(t). Изображение такой функции F(s) = 1/s. Изображение сигнала на выходе дифференциатора Y(s) = F(s)W(s) = K. Обратное преобразование Лапласа дает реакцию в виде d-функции с площадью, равной K, т. е. y(t) = Kd(t).
Запишем частотный оператор дифференцирующего звена:
(3.15)
AЧХ
. (3.16)
Модуль ЛАЧХ (дБ)
. (3.17)
ФЧХ интегрирующего звена
. (3.18)
Рассмотрим АФХ, которая определяется выражением (3.15) – см. рис. 3.6.
Все точки АФХ располагаются на положительной части оси мнимых. При w = 0 дифференциатор имеет нулевое усиление, а при увеличении частоты модуль ЧХ R(w), как видно из (3.16), монотонно увеличивается. Фазовый сдвиг на всех частотах составляет +p/2.
ЛЧХ дифференциатора (выражения (3.16), (3.17), (3.18)) приведены на рис. 3.7 (построены при K = 10).
 |
Рис. 3.7
ЛАХ представляет собой прямую, имеющую наклон +20 дБ/дек; это означает, что при увеличении частоты в 10 раз модуль ЧХ увеличивается также в 10 раз. Действительно, определим изменение модуля на десятикратном интервале изменения частоты в любом месте диапазона:
DL = L(10wi) - L(wi) = 20lgR(10wi) - 20 lgR(wi) =
= (20lgK + 20lg(10) + 20lg(wi)) - (20lgK + 20lg(wi)) = +20 дБ .
Для определения местоположения ЛАХ найдем точку L(wср) = 0 дБ, т. е. место пересечения ЛАХ с осью частот. Из (3.16) видно, что R(w) =1 при w =1/K. Проведенная через эту точку прямая линия с наклоном +20 дБ/дек и является ЛАХ дифференциатора с заданным коэффициентом передачи K. Найдем также характерную точку при w =1. Из (3.17) следует, что на данной частоте, как и у интегратора
Прямая, проведенная через эту точку и через точку на оси частот w =1/K, будет иметь наклон +20 дБ/дек. Заметим, что для дифференциатора с K =1 обе характерные точки совпадают (wср = 1).
ФЧХ дифференцирующего звена, как следует из (3.18), представляет собой прямую линию, параллельную оси частот – см. рис. 3.7.
При изменении коэффициента передачи (единственного параметра дифференциатора) ЛАХ будет смещаться параллельно самой себе: подниматься при увеличении K или опускаться при уменьшении K. Величина DL смещения ЛАХ при изменениии K в DK раз будет составлять DL = 20lg(DK) дБ. Например, при увеличении K в 20 раз ЛАХ поднимется на 26 дБ, а при уменьшении K в 5 раз опуститься на 14 дБ.