Пример построения логарифмических частотных характеристик статической системы управления
Проведем построение ЛЧХ для статической СУ, имеющей ПФ
. (4.4)
 |
Построение ЧХ отображено на рис. 4.5. После оцифровки оси частот и нанесения на сетку ЛАХ вертикальных штриховых линий сопряжения начинается построение собственно ЛАХ LP(w). Слева от минимальной частоты сопряжения wc, min = wc1 =1/T1 = 0.01 рад/с, определяемой самой большой постоянной времени в СУ, формируем низкочастотный участок ЛАХ. В данном случае это прямая, параллельная оси частот и проходящая на расстоянии 20lg200 = 20lg(10*10*2) = 20lg10 + 20lg10 + 20lg2 = = 20дБ + 20дБ + 6дБ = 46дБ.
Рис. 4.5
Линия сопряжения wc1 соответствует полюсу 1/T1. Поэтому переход через нее асимптотической ЛАХ в сторону увеличения частоты сопровождается изменением наклона на –20 дБ/дек. Прямую с таким наклоном проводим до следующей частоты сопряжения wc2 = 0.2 рад/с, которая соответствует нулю 1/t1, и переход через нее асимптотической ЛАХ в сторону увеличения частоты сопровождается изменением наклона на +20 дБ/дек. В результате суммарный наклон следующего участка ЛАХ будет составлять 0 дБ/дек; параллельный оси частот участок ЛАХ следует продолжить до частоты сопряжения wc3 = 4 рад/с. На линии сопряжения этой частоты “срабатывают” два полюса, так как “включаются” два апериодических звена с одинаковыми постоянными времени. Переход через эту линию сопровождается изменением наклона на 2*(-20 дБ/дек) = -40 дБ/дек. В результате окончательный наклон ЛАХ справа от wc3 = 4 рад/с равен -40 дБ/дек.
ФЧХ jP(w) формируется путем построения ФЧХ отдельных звеньев и последующего их суммирования – см. рис. 4.5.
4.5. Пример построения логарифмических частотных характеристик реального дифференцирующего звена
Идеальное дифференцирующее звено (см. 3.3) имеет равномерно возрастающий модуль R(w) во всем диапазоне частот w Î [0,¥); при w ® ¥, модуль R(w) ® ¥. Такая идеальная модель звена может соответствовать реальности только в ограниченном диапазоне частот. В связи с этим часто используют так называемое реальное дифференцирующее звено, у которого, начиная с некоторой частоты, рост модуля R(w) ограничивается. ПФ такого звена
(4.5)
можно рассматривать как ПФ последовательного соединения двух ранее рассмотренных типовых звеньев – идеального дифференцирующего и апериодического первого порядка (4.5).
На рис. 4.6 представлено построение ЛАХ реального дифферен-цирующего звена с K = 0.1 и T = 0.25 с.
 |
Рис. 4.6
Единственная частота сопряжения wc =1/T = 4 рад/с определяется апе-риодическим звеном 1/(Ts+1) = 1/(0.25s+1).
До частоты сопряжения wc =1/T наклон ЛАХ определяется наличием дифференциатора и составляет +20 дБ/дек; этот участок ЛАХ (в данном случае – его продолжение за wc) пересечет ось частот при w =1/K =10 рад/с. На частоте wc “включается” асимптотическая ЛАХ апериодического звена, изменяя имеющийся слева от wc наклон на -20 дБ/дек. В результате получаем суммарный наклон ЛАХ справа от частоты сопряжения, равный 0 дБ/дек и при w Î [wc, ¥) ЛАХ будет параллелен оси частот.
Результирующая ФЧХ j(w) представляет собой ФЧХ апериодического звена, смещенную на +p/2, так как такой фазовый сдвиг вносит идеальное дифференцирующее звено во всем диапазоне частот – см. рис. 4.6.