Работа силы F при перемещении вдоль дуги линии

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁), ... ,M_n(x_n,y_n,z_n). Посчитаем значения F(x_i,y_i,z_i), i=1,2,...,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ - поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.
Заметим, что если F(x,y,z) - сила, то - работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) - стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то - количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).
Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

то

и для криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как где - направляющие косинусы единичного вектора нормали и то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме

то

где - якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где - проекции поверхности на координатные плоскости соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Отметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.

Теорема 1.Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее
.

Теорема 2. Пусть и размерность пересечения Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу с получаем требуемое.

Пример №1. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.
F=x²yi+yj; L: отрезок M₀M₁
M₀(-1;3), M₀(0;1)
Решение.
Находим уравнение прямой вдоль отрезка M₀M₁.
или y=-2x+1
dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Пример №2. Вычислить вдоль кривой
если
Имеем

Пример №3. Вычислить поток вектора через часть плоскости лежащую в первом октанте.
Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них. Тогда

где - проекции поверхности на координатные плоскости соответственно. Посчитаем первый из них. Имеем Остальные два интеграла считаются аналогично и также равны Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями.