Ряд Фурье

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l;l) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S(x):

• является периодической функцией с периодом 2l. Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
• на интервале (-l;l) совпадает с функцией f(x), за исключением точек разрыва
• в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f(x) и на концах интервала принимает средние значения:

Если f(x) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b_n=0.
Если f(x) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а_n=0

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (0;l) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l, совпадающей с f(x) на интервале (0;l) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1. Разложить функцию f(x)=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение:
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b_n=0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а₀=2, а₁=а₂=а₃=…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:


Таким образом, для четных n (n=2k) имеем b_n=0, для нечетных (n=2k-1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2. Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение: Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n=18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b₁₈=1;
или , откуда n=4. Значит, b₄=-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

Пример №3. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Сначала вычисляем T = 4 и ω =2π/4= π/2. Теперь находим



Первый интеграл находим

Второй интеграл берём по частям, выбирая u = 3x, dv = cos(πnx/2), тогда du = 3dx, v = sin(πnx/2)/ (πn/2). Получаем


Итак, для n = 1, 3, 5, . . . a_n= 2/(π²n²) , а для n = 2, 4, 6, . . . a_n= 0.
Аналогично находим

В итоге получаем разложение