Алгоритм построения логарифмической амплитудной характеристики последовательного соединения типовых звеньев
Как следует из разд. 3 и 4.1, построение асимптотической ЛАХ последовательного соединения типовых звеньев сводится к суммированию на графике отрезков прямых линий с наклонами, кратными 20 дБ/дек.Используем более эффективный способ построения ЛАХ последо-вательного соединения звеньев, который не требует построения ЛАХ отдельно каждого звена и последующего суммирования этих ЛАХ.
Для рассмотренного в 4.1. примера представим ПФ WP(s) = W1(s) W2(s) W3(s) W4(s) в следующем виде
. (4.1)
Основным в данном случае является то обстоятельство, что коэффициенты передач всех звеньев сосредоточены в одном (первом) сомножителе 10/s; оба апериодических звена имеют единичный коэффициент передачи. Очевидно, что результирующая ЛАХ от такого перераспределения параметров должна остаться без изменений.
 |
Построим ЛАХ звеньев-сомножителей из (4.1) – см. рис. 4.3.
Рис. 4.3
Проведем вертикальную штриховую линию сопряжения на частоте wc =1/T1 = 1/T2 =1 рад/с. Заметим, что частоты сопряжения позволяют оцифровать ось частот.
Построим ЛАХ первого сомножителя в (4.1). Этот сомножитель соответствует интегрирующему звену с коэффициентом передачи K = 10; его ЛАХ представляет собой прямую с наклоном -20дБ/дек, пересекающую ось частот при w =10. От левой границы частотного диапазона до частоты сопряжения wc этот участок ЛАХ проведем сплошной линией, а справа от wc до w =K=10 наметим ее штрихами – см. рис. 4.3.
Теперь построим ЛАХ звеньев 1/(s+1). Слева от wc асимптотическая ЛАХ этих звеньев проходит по оси частот, так как 20lg(1) = 0 дБ.
Очевидно, что характеристики апериодических звеньев с K =1 не изменят при суммировании построенную ранее характеристику интегратора на диапазоне w < wc. На диапазоне частот w > wc сформировавшийся наклон -20дБ/дек будет изменен на 2*(-20) дБ/дек. Продолжение вправо от wc прямой с наклоном -60дБ/дек образует результирующую асимптотическую ЛАХ всего соединения звеньев – см. рис. 4.3.
Сформируем алгоритм построения ЛАХ последовательного соединения любых типовых звеньев, позволяющий получить характеристику без предварительного построения и суммирования ЛАХ отдельных звеньев.
1. Оператор последовательного соединения звеньев приводится к виду
, (4.2)
n =…-2, -1, 0, 1, 2,… .
Первый сомножитель в (4.2) определит наклон низкочастотного участка ЛАХ (слева от крайней левой линии сопряжения).
При n = 0 имеем “статическую систему”; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен 0 дБ/дек - ЛАХ пройдет параллельно оси частот.
При n = 1 имеем “систему с астатизмом первого порядка”; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен -20 дБ/дек.
При n = 2 имеем “систему с астатизмом второго порядка”; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен -40 дБ/дек.
Значения n = -1 или n = -2 соответствуют наличию в соединении одного или двух идеальных дифференцирующих звеньев; наклон низкочастотного участка ЛАХ будет равен +20 дБ/дек или +40 дБ/дек.
2. На частотной оси помечаются частоты сопряжения; при этом оцифровывается вся шкала частот. Проводятся вертикальные штриховые линии сопряжения. Каждая линия помечается в соответствии со своей постоянной времени 1/Ti или 1/tj. Важным фактором является четкое разграничение, принадлежит линия сопряжения постоянной времени Ti знаменателя, или постоянной времени tj числителя ПФ.
3. Для диапазона частот w £ wc, min , то есть левее самой левой линии сопряжения, строится ЛАХ сомножителя (K/sn).
4. Далее построение результирующей ЛАХ производится от wc, min вправо, т. е. в сторону увеличения частоты. Пересечение ранее сформированного участка ЛАХ с очередной линией сопряжения изменяет наклон ЛАХ на -20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/Ti, или на +20 дБ/дек, если линия сопряжения помечена 1/tj. Необходимо иметь ввиду, что постоянные времени некоторых звеньев могут совпадать, как это имеет место в рассмотренном примере − 4.1 и 4.2. В этом случае изменение наклона асимптотической ЛАХ будет иметь величину, кратную 20 дБ/дек.
Описанный способ в значительно меньшей степени подвержен возникновению ошибок при построении ЛАХ по сравнению со способом, основанном на построении ЛАХ отдельно каждого звена с последующим суммированием характеристик. Единственным требованием для получения достоверной результирующей ЛАХ является точное соблюдение кратным 20 дБ/дек величин наклонов отрезков асимптотической характеристики.
4.3. Пример построения логарифмических частотных характеристик астатической системы управления
Рассмотрим подробно процесс построения ЛЧХ по предложенному в 4.2 алгоритму для СУ, имеющей ПФ
. (4.3)
Построение ЧХ отображено на рис. 4.4. Проводим линии сопряжения на частотах wc1 =1/T1 = 0.002 рад/с, wc2 =1/t1 = 0.05 рад/с, wc3 =1/T2 =1/T3 = 5 рад/с и помечаем их. На шкале частот эти значения отмечены треугольными метками – острием вверх на частоте, равной значению нуля 1/t1, и острием вниз на частотах, равных значениям полюсов 1/Ti . Направление метки показывает, в какую сторону происходит “излом” асимптотической ЛАХ.
Для диапазона частот w £ wc, min = wc1 =1/T1 = 0.002 рад/с строим участок ЛАХ, соответствующий сомножителю 10/s. Слева от wc1 сразу проводим сплошную линию; ее продолжение штриховой линией до w =10 рад/с используется только для построения ЛАХ интегратора.
 |
Рис. 4.4
Частота wc1 “помечена полюсом”, поэтому справа от нее (то есть в сторону увеличения частоты) наклон изменится на -20 дБ/дек и будет составлять -40 дБ/дек. Прямую с таким наклоном следует провести до wc2.
Частота wc2 “помечена нулем”, поэтому справа от нее наклон изменится на +20 дБ/дек и будет составлять -20 дБ/дек. Этот наклон следует сохранить до wc3.
Частота wc3 помечена сразу двумя полюсами; справа от нее наклон измениться на 2*(-20 дБ/дек) и будет составлять -60 дБ/дек. Этот наклон останется неизменным при w ® ¥.
На рис. 4.4 показаны ЛАХ звеньев 1/(Ti s+1) и 1/(tj s+1). Видно, что каждое такое звено имеет модуль 0 дБ слева от своей частоты сопряжения; прибавление его характеристики на w £ wc не изменяет ранее сформированного участка ЛАХ соединения. Справа от своей частоты сопряжения такое звено “срабатывает”, изменяя наклон асимптотической ЛАХ соединения.
ФЧХ jP(w) формируется путем построения ФЧХ отдельных звеньев и последующего их суммирования – см. рис. 4.4.