Точки разрыва функции

1. Даны координаты вершин пирамиды A1, A2, A3, A4.
   Найти угол между A1 A4 и гранью A1 A2 A3;
   Сделать чертеж.
   А1(1; 8; 2), А2(5; 2; 6), А3(5; 7; 4), А4(4; 10; 9)
   Решение ищем с помощью онлайн-калькулятора.
   1) Координаты векторов
   Координаты векторов находим по формуле:
   X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
   здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;
   Например, для вектора A₁A₂
   X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
   X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
   A₁A₂(4;-6;4)
   A₁A₃(4;-1;2)
   A₁A₄(3;2;7)
   A₂A₃(0;5;-2)
   A₂A₄(-1;8;3)
   A₃A₄(-1;3;5)
   2) Модули векторов
   Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
   
   
   
   
   
   
   
   7) Уравнение прямой
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:
   
   Уравнение прямой A₁A₄(3,2,7)
   
   8) Уравнение плоскости.
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
   

   x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

   = 0

   
   Уравнение плоскости A₁A₂A₃
   

   x-1 y-8 z-2 4 -6 4 4 -1 2

   = 0

   
   (x-1)((-6) • 2-(-1) • 4) - (y-8)(4 • 2-4 • 4) + (z-2)(4 • (-1)-4 • (-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0
   Упростим выражение: -2x + 2y + 5z-24 = 0
   12) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃
   Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
   
   Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -2x + 2y + 5z-24 = 0
   Уравнение прямой A₁A₄:
   
   
   γ = arcsin(0.73) = 46.89^o

   Скачать решение

2. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.
   Решение. Выражаем x=^-8/₅.
   Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = ⁵/₄. Так как:
   
   
   то
   
   или
   
   Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
   16(x - 2)² + 16y² = |x + ⁸/₅|²
   т.е.
   16(x² - 4x + 4) + 16(y²) = x² + ¹⁶/₅x + ⁶⁴/₂₅
   или
   15x² + 16y² - ³³⁶/₅x - ^-1536/₂₅ = 0

   Скачать решение

3. Найти пределы
   a)
4. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.