Контрольная работа по математике

1) Найти производные dx/dy данных функций
а) ; б) y=1/tg22x; в) г) y=xlnx;
д) y sin x =cos(x-y).

2) Найти dx/dy и для заданных функций: а) y=f(x), б) x=φ(t), y=ψ(t).
а) y=x3lnx; б) x=t-sint, y=t-cost.
Решение. x=t-sint, y=t-cost.
Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

Отдельно находим производные xt' и yt'


Следовательно:

или

Найдем yx'' (вторую производную):

Находим производные xt'' и yt''


Тогда

или

3) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [a; b].
[0; π/2].
Решение. Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум. Находим первую производную функции:

Приравниваем ее к нулю:

x1 = 1/3•π
Вычисляем значения функции на концах отрезка

f(0) = 1

Ответ:

4) Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

5) Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.
Y=(x2+1)/(x2-1).