Пропорционально-дифференцирующее звено
Диффенециальное уравнение имеет следующий вид
. (3.28)
Передаточная функция
. (3.29)
Параметр K называется коэффициентом передачи, TД = t (с.) - постоянная времени.
Изображение сигнала на выходе звена при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия
. (3.30)
Обратное преобразование Лапласа для (3.30) дает переходный процесс:
. (3.31)
Таким образом, при реакции на единичное ступенчатое воздействие выходная координата содержит две составляющие: d-функцию с площадью, равной Kt, и постоянный сигнал величины K – см. рис. 3.11.
Частотный оператор пропорционально-дифференцирующего звена:
. (3.32)
Это выражение позволяет сразу сделать выводы о виде АФХ. Действительно, Re(w) = Const =K, Im(0) = 0, Im(w) > 0 при w > 0 и возрастает пропорционально частоте – см. рис. 3.12.
Из (3.32) получим выражение для модуля и фазы ЧХ звена:
, (3.33)
. (3.34)
Из этих выражений видно, что на нулевой частоте R(0) =K, j(0) = 0o, то есть пропорцио-нально-дифференцирующее звено ведет себя как пропорциональное звено. При увеличении частоты модуль монотонно возрастает до ¥, а фазовый сдвиг стремится к p/2.
Модуль ЛАЧХ (дБ)
. (3.35)
ЛЧХ для пропорционально-дифференцирующего звена с параметрами K =10, t =1 c приведены на рис. 3.13.
О виде ЛАХ можно судить, сравнив выражения (3.35) и (3.27) и ознакомившись со способом построения ЧХ апериодического звена – см. 3.4.
Частота сопряжения wс =1/t. Также отдельно строятся участки ЛАХ для w < wс и w > wс. Видно, что ЛАХ пропорционально-дифференцирующего звена является зеркальным отображением (относительно линии 20lgK) ЛАХ звена апериодического с совпадающими параметрами - коэффициентами передачи и постоянными времени.
 |
Рис. 3.13
При сопоставлении (3.34) с (3.26) видно, что зависимости фазы от частоты пропорционально-дифференцирующего и апериодического звеньев отличаются только знаком. Поэтому их ФЧХ являются зеркальным отображением друг друга относительно линии j(w) = 0o – см. рис. 3.13.
Вариации параметров пропорционально-дифференцирующего звена вызывают изменения в ЛЧХ, аналогичные апериодическому звену.
Также отдельно заметим, что при K = 1 низкочастотный участок асимптотической ЛАХ проходит по оси частот, так как 20lg1 = 0 дБ; это обстоятельство будет использовано при построении ЛАХ последовательного соединения типовых звеньев СУ.