1. Оценка уравнения регрессии. 
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: 
s = (XTX)-1XTY 
Матрица X 
 
1	100	109.4	51.8	8.4	1	
1	105	110.7	53.8	8.5	2	
1	109	112	56.1	8.5	3	
1	115	114.2	57.2	8.7	4	
1	121	115.8	59.2	9	5	
1	127	117.9	62.8	9.9	6	
1	131	119.3	65	10.2	7	
1	137	121	68.5	10.3	8	
1	141	122	73.9	10.5	9	
1	145	123.3	75	10.5	10	
1	151	124.9	79	10.6	11	
1	156	126	79.9	10.5	12	
1	156	127.1	83.7	10.4	13	
1	159	127.9	84.9	10.3	14	
1	164	128.7	86.6	10.3	15	
1	168	129.6	87.9	10	16	
1	173	130.1	89.6	9.5	17	
1	175	131	91.4	9.5	18	
1	177	131.1	91.5	9.4	19	
1	178	131.5	91.6	9.2	20	
1	179	130.5	91.4	9	21	

 Матрица Y 
 
5.01	
4.97	
5.03	
5.15	
5.37	
5.51	
5.48	
5.21	
5.23	
5.33	
5.4	
5.32	
5.21	
5.25	
4.9	
3.9	
3.5	
3.5	
3.4	
3.45	
3.5	

 Матрица XT 

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
100	105	109	115	121	127	131	137	141	145	151	156	156	159	164	168	173	175	177	178	179	
109.4	110.7	112	114.2	115.8	117.9	119.3	121	122	123.3	124.9	126	127.1	127.9	128.7	129.6	130.1	131	131.1	131.5	130.5	
51.8	53.8	56.1	57.2	59.2	62.8	65	68.5	73.9	75	79	79.9	83.7	84.9	86.6	87.9	89.6	91.4	91.5	91.6	91.4	
8.4	8.5	8.5	8.7	9	9.9	10.2	10.3	10.5	10.5	10.6	10.5	10.4	10.3	10.3	10	9.5	9.5	9.4	9.2	9	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	

 Умножаем матрицы, (XTX) 
 
21	3067	2584	1580.8	203.2	231	
3067	461219	381138.1	238131.1	29842.4	36904	
2584	381138.1	319024.32	196571.65	25058.52	29308.1	
1580.8	238131.1	196571.65	123012.24	15390.63	19115.6	
203.2	29842.4	25058.52	15390.63	1977.84	2264	
231	36904	29308.1	19115.6	2264	3311	

В матрице,  (XTX) число 21, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X 
Умножаем матрицы,  (XTY) 

99.62	
14266.87	
12185.19	
7348.07	
967.74	
1020.93	

Находим обратную матрицу (XTX)-1 
 
2410.97	6.44	-31.63	3.76	26.19	0.41	
6.44	0.0459	-0.1	0.00334	-0.000578	-0.0796	
-31.63	-0.1	0.43	-0.0507	-0.3	0.052	
3.76	0.00334	-0.0507	0.0266	0.0161	-0.0159	
26.19	-0.000578	-0.3	0.0161	0.68	0.29	
0.41	-0.0796	0.052	-0.0159	0.29	0.29	

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен 
s = (XTX)-1XTY =  
 
-9.25	
-0.11	
0.18	
-0.0232	
0.8	
0.17	
 
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии) 
Y = -9.25-0.11X1 + 0.18X2-0.0232X3 + 0.8X4 + 0.17X5 

2. Матрица парных коэффициентов корреляции. 
Число наблюдений n = 21. Число независимых переменных в модели равно 5, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 7. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (21 х 7). 
Матрица, составленная из Y и X 
 
1	5.01	100	109.4	51.8	8.4	1	
1	4.97	105	110.7	53.8	8.5	2	
1	5.03	109	112	56.1	8.5	3	
1	5.15	115	114.2	57.2	8.7	4	
1	5.37	121	115.8	59.2	9	5	
1	5.51	127	117.9	62.8	9.9	6	
1	5.48	131	119.3	65	10.2	7	
1	5.21	137	121	68.5	10.3	8	
1	5.23	141	122	73.9	10.5	9	
1	5.33	145	123.3	75	10.5	10	
1	5.4	151	124.9	79	10.6	11	
1	5.32	156	126	79.9	10.5	12	
1	5.21	156	127.1	83.7	10.4	13	
1	5.25	159	127.9	84.9	10.3	14	
1	4.9	164	128.7	86.6	10.3	15	
1	3.9	168	129.6	87.9	10	16	
1	3.5	173	130.1	89.6	9.5	17	
1	3.5	175	131	91.4	9.5	18	
1	3.4	177	131.1	91.5	9.4	19	
1	3.45	178	131.5	91.6	9.2	20	
1	3.5	179	130.5	91.4	9	21	

Транспонированная матрица. 
 
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	
5.01	4.97	5.03	5.15	5.37	5.51	5.48	5.21	5.23	5.33	5.4	5.32	5.21	5.25	4.9	3.9	3.5	3.5	3.4	3.45	3.5	
100	105	109	115	121	127	131	137	141	145	151	156	156	159	164	168	173	175	177	178	179	
109.4	110.7	112	114.2	115.8	117.9	119.3	121	122	123.3	124.9	126	127.1	127.9	128.7	129.6	130.1	131	131.1	131.5	130.5	
51.8	53.8	56.1	57.2	59.2	62.8	65	68.5	73.9	75	79	79.9	83.7	84.9	86.6	87.9	89.6	91.4	91.5	91.6	91.4	
8.4	8.5	8.5	8.7	9	9.9	10.2	10.3	10.5	10.5	10.6	10.5	10.4	10.3	10.3	10	9.5	9.5	9.4	9.2	9	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	
 
Матрица ATA. 
 
21	99.62	3067	2584	1580.8	203.2	231	
99.62	485.36	14266.87	12185.19	7348.07	967.74	1020.93	
3067	14266.87	461219	381138.1	238131.1	29842.4	36904	
2584	12185.19	381138.1	319024.32	196571.65	25058.52	29308.1	
1580.8	7348.07	238131.1	196571.65	123012.24	15390.63	19115.6	
203.2	967.74	29842.4	25058.52	15390.63	1977.84	2264	
231	1020.93	36904	29308.1	19115.6	2264	3311	

Полученная матрица имеет следующее соответствие: 

∑n	∑y	∑x1 	∑x2 	∑x3 	∑x4 	∑x5 	
∑y	∑y2 	∑x1 y	∑x2 y	∑x3 y	∑x4 y	∑x5 y	
∑x1 	∑yx1 	∑x1 2 	∑x2 x1 	∑x3 x1 	∑x4 x1 	∑x5 x1 	
∑x2 	∑yx2 	∑x1 x2 	∑x2 2 	∑x3 x2 	∑x4 x2 	∑x5 x2 	
∑x3 	∑yx3 	∑x1 x3 	∑x2 x3 	∑x3 2 	∑x4 x3 	∑x5 x3 	
∑x4 	∑yx4 	∑x1 x4 	∑x2 x4 	∑x3 x4 	∑x4 2 	∑x5 x4 	
∑x5 	∑yx5 	∑x1 x5 	∑x2 x5 	∑x3 x5 	∑x4 x5 	∑x5 2 	
Найдем парные коэффициенты корреляции. 

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi		
Для y и x1 	3067	146.05	99.62	4.74	14266.87	679.37	
Для y и x2 	2584	123.05	99.62	4.74	12185.19	580.25	
Для y и x3 	1580.8	75.28	99.62	4.74	7348.07	349.91	
Для y и x4 	203.2	9.68	99.62	4.74	967.74	46.08	
Для y и x5 	231	11	99.62	4.74	1020.93	48.62	
Для x1  и x2 	2584	123.05	3067	146.05	381138.1	18149.43	
Для x1  и x3 	1580.8	75.28	3067	146.05	238131.1	11339.58	
Для x1  и x4 	203.2	9.68	3067	146.05	29842.4	1421.07	
Для x1  и x5 	231	11	3067	146.05	36904	1757.33	
Для x2  и x3 	1580.8	75.28	2584	123.05	196571.65	9360.55	
Для x2  и x4 	203.2	9.68	2584	123.05	25058.52	1193.26	
Для x2  и x5 	231	11	2584	123.05	29308.1	1395.62	
Для x3  и x4 	203.2	9.68	1580.8	75.28	15390.63	732.89	
Для x3  и x5 	231	11	1580.8	75.28	19115.6	910.27	
Для x4  и x5 	231	11	203.2	9.68	2264	107.81	

Признаки x и y						
Для y и x1 	632.9	0.61	25.16	0.78	-0.69	
Для y и x2 	50.92	0.61	7.14	0.78	-0.62	
Для y и x3 	191.22	0.61	13.83	0.78	-0.67	
Для y и x4 	0.55	0.61	0.74	0.78	0.31	
Для y и x5 	36.67	0.61	6.06	0.78	-0.75	
Для x1  и x2 	50.92	632.9	7.14	25.16	1	
Для x1  и x3 	191.22	632.9	13.83	25.16	0.99	
Для x1  и x4 	0.55	632.9	0.74	25.16	0.42	
Для x1  и x5 	36.67	632.9	6.06	25.16	0.99	
Для x2  и x3 	191.22	50.92	13.83	7.14	0.99	
Для x2  и x4 	0.55	50.92	0.74	7.14	0.5	
Для x2  и x5 	36.67	50.92	6.06	7.14	0.97	
Для x3  и x4 	0.55	191.22	0.74	13.83	0.44	
Для x3  и x5 	36.67	191.22	6.06	13.83	0.98	
Для x4  и x5 	36.67	0.55	6.06	0.74	0.3	
Матрица парных коэффициентов корреляции. 

-	y	x1 	x2 	x3 	x4 	x5 	
y	1	-0.69	-0.62	-0.67	0.31	-0.75	
x1 	-0.69	1	1	0.99	0.42	0.99	
x2 	-0.62	1	1	0.99	0.5	0.97	
x3 	-0.67	0.99	0.99	1	0.44	0.98	
x4 	0.31	0.42	0.5	0.44	1	0.3	
x5 	-0.75	0.99	0.97	0.98	0.3	1	

Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия: 
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи; 
- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции rxjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.; 
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними. 
В нашем случае rx1x2 , rx1x3 , rx1x5 , rx2x3 , rx2x5 , rx3x5  имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа. 
Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |ryxi| < 0.5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0.3 – связь практически отсутствует; 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7 - связь средняя; 0.7 ≤ |r| ≤ 0.9 – связь сильная; |r| > 0.9  – связь весьма сильная. 
Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми. 
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле: 

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии. 

По таблице Стьюдента находим Tтабл 
tкрит(n-m-1;α/2) = (19;0.025) = 2.093 
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx3 по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx4 по формуле: 

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим 
Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx5 по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Таким образом, связь между (y и xx1 ), (y и xx2 ), (y и xx3 ), (y и xx5 ) является существенной. 
Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x5 (r = -0.75), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.
Частные коэффициенты корреляции. 
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено. 
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x2 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

где k = 1 - число фиксируемых факторов. 

По таблице Стьюдента находим Tтабл 
tкрит(n-k-2;α/2) = (18;0.025) = 2.101 
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x1  при условии, что x2  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи низкая. 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x3 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим 
Как видим, связь y и x1  при условии, что x3  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1  остается нецелесообразным. 

Теснота связи умеренная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x5 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x1  при условии, что x5  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1  остается нецелесообразным. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x1 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x2  при условии, что x1  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи не сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x3 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x2  при условии, что x3  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x2  остается нецелесообразным. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x5 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x2  при условии, что x5  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи низкая. 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx3 /x1 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим 
Как видим, связь y и x3  при условии, что x1  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x3  остается нецелесообразным. 

Теснота связи умеренная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx3 /x2 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x3  при условии, что x2  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x3  остается нецелесообразным. 

Теснота связи умеренная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx3 /x5 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x3  при условии, что x5  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x3  остается нецелесообразным. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx4 /x1 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x4  при условии, что x1  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx4 /x2 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x4  при условии, что x2  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx4 /x3 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x4  при условии, что x3  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx4 /x5 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x4  при условии, что x5  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx5 /x1 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x5  при условии, что x1  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x5  остается нецелесообразным. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx5 /x2 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x5  при условии, что x2  войдет в модель, стала сильнее. 

Теснота связи сильная 
Определим значимость коэффициента корреляции ryx5 /x3 . 
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле: 

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим 
Как видим, связь y и x5  при условии, что x3  войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x5  остается нецелесообразным. 
Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x1, x2, x3, x5.
Модель регрессии в стандартном масштабе. 
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам: 

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении. 

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S. 
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением: 
ty = ∑βjtxj 
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид: 
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm 
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm 
... 
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm 
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции): 
-0.685 = β1 + 0.995β2 + 0.994β3 + 0.421β4 + 0.99β5 
-0.623 = 0.995β1 + β2 + 0.993β3 + 0.495β4 + 0.974β5 
-0.666 = 0.994β1 + 0.993β2 + β3 + 0.437β4 + 0.982β5 
0.311 = 0.421β1 + 0.495β2 + 0.437β3 + β4 + 0.304β5 
-0.755 = 0.99β1 + 0.974β2 + 0.982β3 + 0.304β4 + β5 
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = -3.552; β2 = 1.649; β3 = -0.412; β4 = 0.766; β5 = 1.326;  
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид: 
y0 = -3.552x1 + 1.649x2 -0.412x3 + 0.766x4 + 1.326x5  

3. Анализ параметров уравнения регрессии. 
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации 
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления: 
Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации) 
 
Y	Y(x)	ε = Y - Y(x)	ε2	(Y-Yср)2	
5.01	5,17	-0.16	0.0249	0.0709	
4.97	5,06	-0.0862	0.00743	0.0512	
5.03	4,97	0.0626	0.00392	0.0819	
5.15	5,01	0.14	0.0199	0.16	
5.37	5	0.37	0.14	0.39	
5.51	5,53	-0.019	0.00036	0.59	
5.48	5,7	-0.22	0.049	0.54	
5.21	5,52	-0.31	0.0941	0.22	
5.23	5,46	-0.23	0.054	0.24	
5.33	5,4	-0.0715	0.00511	0.34	
5.4	5,19	0.21	0.0453	0.43	
5.32	4,9	0.42	0.17	0.33	
5.21	5,11	0.1	0.011	0.22	
5.25	4,98	0.27	0.072	0.26	
4.9	4,71	0.19	0.0374	0.0244	
3.9	4,33	-0.43	0.18	0.71	
3.5	3,6	-0.0975	0.00951	1.55	
3.5	3,67	-0.17	0.0284	1.55	
3.4	3,55	-0.15	0.0239	1.81	
3.45	3,52	-0.0744	0.00553	1.67	
3.5	3,25	0.25	0.0631	1.55	
 	 	0	1.05	12.78	
 
se2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) = 1.05 
Несмещенная оценка дисперсии равна: 

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y): 

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (XTX)-1 
 
636.97	1.7	-8.36	0.99	6.92	0.11	
1.7	0.0121	-0.0269	0.000883	-0.000153	-0.021	
-8.36	-0.0269	0.11	-0.0134	-0.0797	0.0137	
0.99	0.000883	-0.0134	0.00703	0.00425	-0.00419	
6.92	-0.000153	-0.0797	0.00425	0.18	0.0758	
0.11	-0.021	0.0137	-0.00419	0.0758	0.0776	
 
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали 
Показатели тесноты связи факторов с результатом. 
Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. 
К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции. 
Частные коэффициенты эластичности. 
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле: 

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора хj на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. 

Частные коэффициент эластичности |E1| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y. 

Частные коэффициент эластичности |E2| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y. 

Частный коэффициент эластичности |E3| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. 

Частные коэффициент эластичности |E4| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y. 

Частный коэффициент эластичности |E5| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно. 

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак. 
Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак производится: 
- средним коэффициентом эластичности, показывающим на сколько процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора xi на 1% от своего среднего значения; 
- β–коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится на одно среднеквадратическое отклонение Sxi, то значение результативного признака изменится в среднем на β своего среднеквадратического отклонения; 
- долю каждого фактора в общей вариации результативного признака определяют коэффициенты раздельной детерминации (отдельного определения): d2i = ryxiβi. 
d21 = -0.69 • (-3.552) = 2.43 
d22 = -0.62 • 1.649 = -1.03 
d23 = -0.67 • (-0.412) = 0.27 
d24 = 0.31 • 0.766 = 0.24 
d25 = -0.75 • 1.326 = -1 
При этом должно выполняться равенство: 
∑d2i = R2 = 0.92

Множественный коэффициент корреляции. 
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции. 
Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат. 

Вывод: Связь между признаком Y факторами X сильная. Другими словами, влияние всех факторов, включенных в модель – существенно.
 
Коэффициент детерминации. 
R2= 0.962 = 0.92 
Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии). 
Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров. 
1) t-статистика 
Tтабл (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131 

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 не подтверждается. 
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 не подтверждается. 
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается. 
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b3: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b3 не подтверждается. 
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b4: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b4 не подтверждается. 
Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b5: 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b5 не подтверждается. 
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии. 
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими: 
(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi) 
b0: (-9.25 - 2.131 • 25.24 ; -9.25 + 2.131 • 25.24) = (-63.04;44.53) 
b1: (-0.11 - 2.131 • 0.11 ; -0.11 + 2.131 • 0.11) = (-0.34;0.12) 
b2: (0.18 - 2.131 • 0.34 ; 0.18 + 2.131 • 0.34) = (-0.54;0.9) 
b3: (-0.0232 - 2.131 • 0.0839 ; -0.0232 + 2.131 • 0.0839) = (-0.2;0.16) 
b4: (0.8 - 2.131 • 0.43 ; 0.8 + 2.131 • 0.43) = (-0.1;1.71) 
b5: (0.17 - 2.131 • 0.28 ; 0.17 + 2.131 • 0.28) = (-0.42;0.76) 
6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии. 
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности). 
Для ее проверки используют F-критерий Фишера. 
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения. 
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1. 
2) F-статистика. Критерий Фишера 

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y. 
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных: 
H0: β1 = β2 = ... = βm = 0. 
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера. 
Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0. 

Табличное значение при степенях свободы k1 = 5 и k2 = n-m-1 = 21 - 5 - 1 = 15, Fkp(5;15) = 2.9 
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно.

Выводы: коэффициент детерминации очень высокий, 0.92. Следовательно, 92% объяснено факторными признаками, вошедшими в модель. И только 8% - другими, которые в модель не вошли. Полученной уравнение регрессии Y = -9.25-0.11X1 + 0.18X2-0.0232X3 + 0.8X4 + 0.17X5 статистически надежно и его можно использовать для анализа и прогнозирования смертности.
По парным коэффициентам корреляции их значимости можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x1, x2, x3, x5. По наиболее максимальному по модулю коэффициенту можно выбрать только фактор x5 – т.е. модель можно представить в зависимости от времени.

Изобразим полученное уравнение графически.

Как видим, можно подобрать линейное уравнение.