Примеры решений задач по КСЕ
Пример 1. Сравнить для изотопа водорода 1Н2 силы гравитационного и кулоновского взаимодействия электрона и ядра изотопа.Решение:
ДАНО:
q1 = e = -1.6 · 10-19 Кл
q2 = [ e ]= 1.6 · 10-19 Кл
m1 = 9.1 · 10-31 кг
m2 = 3,3425 · 10-27 кг
1/4πε 0 = 9.109 H м2/Кл2
G = 6,67 · 10-11 Н м2/кг2
Определить: F1 / F2
Решение:
Сила электростатического взаимодействия электрона и протона F1 , находящегося в ядре изотопа водорода, определяется законом Кулона:
Сила гравитационного взаимодействия электрона и ядра F1 определяется законом всемирного тяготения: F2 = G m1m2 /r2
Сравнивая две силы, возьмем отношение эпос сил:
F1 / F2 = q1q2 /4πε 0r2 : G m1m2 /r2 = q1q2 /4πε 0 · G m1m2 = (1.6 · 10-19)2
9 · 109 / (6.67 · 10-11 · 9.1 · 10-31 · 3.3425 · 10-27) = 2.56 · 9/6.67 · 9.1 ·
· 3.3425 · 10-38 · 9+11+31+27 = 0.11356 · 1039 ≈ 1.14 · 1038
Ответ: F1 / F2 = 1.14 · 1038
Пример 2. Оценить возможный радиус черной дыры для звезды, масса которой больше солнечной массы в 10 раз.
Решение:
ДАНО:
М = 10М0 = 10 · 2 · 1030кг = 2 · 1031кг
G = 6,67 · 1011 Нм2/кг2
с = 3 · 108 м/с
Определить: R ч.д
Решение:
Радиус черной дыры (без учета эффектов общей теории относительности) находится из условия равенства второй космической скорости и скорости света. Вторая космическая скорость – это скорость, с которой тело может уйти за пределы поля тяготения. Она находится из условия закона сохранения энергии в точке, удаленной от центра тяготения на расстояние R, и на бесконечном расстоянии:
EпотR + EкинR = Eпот∞ + Eкин∞
mV2/ 2 – GmM/R = 0+0
VII = √2GM/R - вторая космическая скорость
Приравнивая вторую космическую скорость к скорости света, получаем:
с = √2GM/R
Откуда R = 2GM/с2
R = 2 ∙ 6.67 ∙ 10-11 ∙ 2 ∙ 1031/ (3 ∙ 108)2 = (2 ∙ 6.67 ∙ 2/9) ∙ 10-11+31+15 = 2.9644 ∙ 104м ≈ 29,6 ∙ 103м ≈ 30км.
Ответ: R ч.л. ≈ 30км.
Пример 3. Определить расстояние в световых годах до галактики по ее красному смещению ∆ λ = 10 нм линии λ = 486 им.
Решение:
Н = 75 км ∙ с-1 /Мпк.
∆ λ = 10 нм.
λ = 486 нм
Определить: R.
При удалении галактики со скоростью V согласно эффекту Доплера для смещения ∆ λ в красную сторону (в сторону удлинения длины волны) линии излучения λ справедливо соотношение (при небольшом удалении):
где с - скорость света.
Отсюда скорость удаления галактики равна:
Вычислим скорость, чтобы узнать скорость удаления:
V = 3 ∙ 10/486 = 0.062 ∙108 м/с = 62 ∙ 105 м/с = 6200 км/с.
По закону Хабблла скорость удаления пропорциональна расстоянию до галактики: V = HR
Примем постоянную Хабблла Н = 75км ∙ с4/ Мпк. Расстояние до галактики будет:
R = V/H = 6200/75 = 82.7 Мпк
Учтем, что 1 парсек = 3.26 световых года, а 1 Мпк = 106 пк. Тогда
R = 269 ∙ 106 св. Лег.
Ответ: галактика удалена на 269 млн. световых лет.
Пример 4.
В результате соударения α частицы с ядром атома бора 3В10 образовались два новых ядра. Одним из этих ядер с стало ядро атома водорода 1Н1.
Определите порядковый номер и массовое число второго ядра. Дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.
Решение:
Обозначим неизвестное ядро символом ZXA Так как α частица представляет собой ядро гелия 2Не4, запись реакции имеет вид
2Не4 + 4В10 → 1Н1 + ZХА
Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10 =1+А, откуда А=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5 = 1+Z, откуда Z=6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода 6С13. Окончательно записываем реакцию:
Но в таблицах обычно указываются массы элементов в атомных единицах массы, а энергия в ядерной физике определяется в мегаэлектронвольтах (МэВ = 106 эВ = 1.6 ∙ 10-13 Дж).
В этих единицах с2 = 9 ∙ 1016 м2/с2 = 931 МэВ/а.е.м.
Тогда, энергетический эффект Q ядерной реакции, выражаемый в мегаэлектронвольтах, определяется но формуле
Q = (M10 – M20 – m α) ∙ 931 (*)
Хотя это соотношение относится к массам ядер, если добавить массы электронов элементов, входящих в реакцию, соотношение (*) останется справедливым для атомных масс элементов. Воспользовавшись данными табл.3, получаем:
Q = 931 {(mHe + mB) – (mH + mB)} = 931{(4.00260 + 10.01294) – (1.00783 + 13.00335)} МэВ = +4,06 МэВ
Знак + означает, что энергия выделяется.
Пример 5. У человека ген карего цвета глаз доминирует над геном голубых глаз. Гетерозиготная кареглазая женщина вышла замуж за голубоглазого мужчину. Какой цвет глаз возможен у их детей?
Условие задачи оформим в виде таблицы
| Фенотип | Ген | Генотип |
| Карий цвет глаз | B | BB, Bb |
| Голубой цвет глаз | b | bb |
Генетическая запись решения:
| P
|
|
|
|
| G
|
|
|
|
| F1
| Bb | bb |
|
Bb
x
bb
либо с помощью решетки Пеннета
B | b | |
b | Bb | bb |
b | Bb | bb |
Гетерозиготная особь (в данном случае - мать) дает два типа гамет, гомозиготная (отец) - один. В результате такого брака вероятность рождения детей с карими и голубыми глазами равна 1:1 (по 50%).