Точки разрыва функции
- Даны координаты вершин пирамиды A1, A2, A3, A4.
Найти угол между A1 A4 и гранью A1 A2 A3;
Сделать чертеж.
А1(1; 8; 2), А2(5; 2; 6), А3(5; 7; 4), А4(4; 10; 9)
Решение ищем с помощью онлайн-калькулятора.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
A1A2(4;-6;4)
A1A3(4;-1;2)
A1A4(3;2;7)
A2A3(0;5;-2)
A2A4(-1;8;3)
A3A4(-1;3;5)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой A1A4(3,2,7)
8) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0
Уравнение плоскости A1A2A3x-1 y-8 z-2 4 -6 4 4 -1 2 = 0
(x-1)((-6) • 2-(-1) • 4) - (y-8)(4 • 2-4 • 4) + (z-2)(4 • (-1)-4 • (-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0
Упростим выражение: -2x + 2y + 5z-24 = 0
12) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: -2x + 2y + 5z-24 = 0
Уравнение прямой A1A4:
γ = arcsin(0.73) = 46.89o - Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5:4.
Решение. Выражаем x=-8/5.
Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = 5/4. Так как:
то
или
Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
16(x - 2)2 + 16y2 = |x + 8/5|2
т.е.
16(x2 - 4x + 4) + 16(y2) = x2 + 16/5x + 64/25
или
15x2 + 16y2 - 336/5x - -1536/25 = 0 - Найти пределы
a) - Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.