Симплексный метод основан на последовательном переходе от одного базисного решения (опорного плана) задачи линейного программирования к другому опорному плану, при этом значение целевой функции изменяется в лучшую сторону. Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере решения задачи планирования товарооборота предприятия торговли.
Коммерческое предприятие реализует п товарных групп, располагая т ограниченными материально-денежными ресурсами b_i > 0 (i = 1, т). Известны расходы ресурсов каждого i-вида на реализацию единицы товара по каждой группе, представленной в виде матрицы А = (a_ij), и прибыль c_j, получаемая предприятием от реализации единицы товара j-группы (табл. 2.3.1). Необходимо определить объем и структуру товарооборота х_j (j = 1, п), при которых прибыль коммерческого предприятия была бы максимальной.
Математическую модель задачи запишем следующим образом.
Определить вектор X= (х₁, х₂,..., x_n), который удовлетворяет ограничениям вида

и обеспечивает максимальное значение целевой функции

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы.
1. Составление первого опорного плана. Система ограничений задачи, решаемой симплексным методом, задана в виде системы неравенств смысла «≤», правые части которых b_i>=0. Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных. Векторы-столбцы при этих переменных представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными:

где x_n+i - дополнительные переменные, i = 1, т,
х_j — базисные переменные, j = 1, n.
Решим эту систему относительно дополнительных переменных:

а функцию цели перепишем в виде уравнения